物に働く力のイメージ 〜力の合成法則〜
前項までは力学で登場する個々の力について勉強してきました。
ここでは、それらの力がどのように足し合わさったり打ち消しあったりするかについて、より詳しく勉強します。
ここで勉強する法則はすべての力に対して成り立ちます。
ここまで勉強すれば、実際の力学の問題に対して力の概念を使うことができるようになります。
ちなみに、力を足し合わせたり打ち消し合わせたりすることを、力を合成する、と言います。
これは単なる言い方の風習ですが、覚えるようにしてください。
２つ以上の力はお互いに合わさったり打ち消しあったりすることができます。
それは力の持つ性質の一つです。
つまり、力というのは、お互いに合わさったり打ち消しあったりすることができるものなのです。
それはどうしてそうなっているのか、誰も知らない事実です。
つまり、物理法則の１つです。
なので、それは実際に自然を観察して確かにそうなっていることを自分で発見しないといけません。
そうでないと、確かにそうなっているということが分かりません。
それでは実際に力がどのように足し合わさったり打ち消しあったりするのか見ていきます。
強い力で引けばもちろん箱は動きますが、少しの力でしか引っ張らなければ、箱は止まったままで動きません。
ですが今はマッチ棒くんが糸を通して箱に力をかけています。
力がかかっているのに、その物は動き出していないのですから、もちろんその物にはその力を打ち消すような力が働いています。
それはもうよく分かっていると思います。
しかし、今マッチ棒くんは箱を斜め上に引っ張っています。
なので箱には力が糸の方向に斜めに働いています。
それでもやはり、その力は打ち消されています。
なので、糸の方向に引っ張る力と一直線上で反対向きで、大きさの同じ何らかの力が働いているはずです。
それを図に描くと次のようになります。
さて、今まで勉強してきたことから、箱にどのような力が働いているか考えることができます。
まず、箱には重力が働いています。
そして床からは抗力と摩擦力が働いています。
その３つを描きいれると下の図のようになります。
図のように、今、箱には糸からの引っ張る力、重力、床からの抗力、摩擦力が働いています。
逆に言えば他の力は働いていません。
ということは、重力と抗力と摩擦力がなんらかの方法で足し合わさって、糸の引っ張る力と一直線上で反対向きのちょうど同じ大きさの力を作っていたということになります。
でないと糸の引っ張る力が打ち消されることはありません。
ここでは、確かに力と力は足し合わさって、他の１つの力と同じような働きをすることがある、ということだけ覚えてください。
もう１つ、力の足し合わさる様子の例を紹介します。
それは斜面に置かれた箱です。
斜面に箱が置いてあります。
箱にはもちろん重力が働いています。
そして、箱は斜面の上で止まっています。
なので、斜面からは重力を打ち消すような力が働いているはずです。
それを図に描くと下のようになります。
そして、今まで勉強したことから斜面から箱に働いている力を考えてみると、抗力と摩擦力になります。
その２つが足し合わさって、箱に働いている重力を打ち消すような力を作ってるのです。
そうでなければ、箱は動き出します。
このように、力と力はお互いに足し合わさったり打ち消しあったりします。
さて、それでは力がどのように足し合わさったり打ち消しあったりするのか、その法則を紹介していきます。
これはどうしてそうなっているのかは誰も知らない、物理法則の１つです。
なので、疑わないで受け入れてください。
それはこの章の始めに力についての性質を確認したのと同じことです。
物理法則は実際に自分の目で確かめて、確かにそうなっているということを確認する以上のことはできません。
ちなみに、力を足し合わせたり打ち消しあわせたりすることを力を合成する、と言います。
それでは実際に２つの力がどのように合成されるのか、その法則を紹介します。
それは、２つの力を合成した後の力は、２つの力を矢印で表し、その根元を合わせて作ることができる平行四辺形の対角線の長さと向きをもった力になる、という法則です。
これだけではちょっとよく分からないかもしれいですが、実際にそうなるのです。
これからその様子をよく見ていきます。
まず、力が合成されるのはどんなときかを説明します。
それは力が同じ物に働いているときです。
別々の物に力が働いているときに、それらの力が合成されることはありません。
それは日常の感覚から言えば当然かもしれませんが、やはり論理的にそうでなければならない理由があるかと言ったらないような気がします。
なんにせよ、自然はそういう風にできています。
そうなっているのだから、そうなっていると受け入れてください。
さて、では同じ物にいくつかの力が働いていて、それらが足し合わさったり打ち消しあったりする場合に、どのように打ち消しあうのか具体的に見ていきたいと思います。
まずは２つの力がどのように合成されるかを見ていきます。
今までも、１直線上にある力が、もし反対向きで同じ大きさなら完全に打ち消されて、力が働いていないときと同じような状況になる、というのを見てきました。
とりあえず、これが反対向きであっても、同じ大きさでない場合にどうなるのかをよく見ていきます。
２つの力が反対向きでも、同じ大きさでなかったら、当然それらの力は打ち消しあわず、物は動き出します。
はじめに、の項目で確認しました。
これもやはり日常の感覚から当たり前のことだと思います。
つまり、同じ物を左右から２人で押し合ったり引っ張り合ったりしたら、力の大きい方が勝ってそっちの人が動かそうとしていた方向に物を動かせます。
この様子を図に描いてよく見ていきます。
箱に左右から力が働いています。
力を図に描いて表すとき、矢印の長さが力の大きさを表しているということを思い出してください。
ということは、上の図は右から左向きに働く力の方が長いので強い力を表しています。
左から右向きに働く力は短いので弱い力です。
ということは、右から左向きに働いている力が勝って、この箱は左向きに動き出します。
これは、全体として見ればこの箱には右から左向きにつの力が働いているのと同じだということになります。
なぜなら、箱に右から左向きに力が働いていれば、確かに箱は左向きに動き出すからです。
今箱に働いているのは左右からの２つの力ですが、それがお互いに影響しあって１つの力と同じような働きをしているわけです。
もし、これらの２つの力が働いているときに箱に起きる現象と、まったく同じ現象を引き起こす１つの力があったとしたら、それらの２つの力は区別がつかないことになります。
まったく同じ現象を起こすなら、それは同じ力が働いていると考えるべきです。
つまり、２つの力が足し合わさったり打ち消しあったりすると、別の１つの力になるのです。
この、２つの力と同じ現象を引き起こす力を、２つの力を合成した力、という意味で合力と呼びます。
ここまでは、そんなに難しくないかもしれません。
問題は、この２つの力が合成された後の合力の大きさがどれくらいになるか、です。
これも結局は実際にそうなっている、という言い方しかできないので自分で考えてもしょうがない性質です。
なので結論だけ先に言っておくと、２つの力が打ち消しあうときは強い方の力の大きさから弱い方の力の大きさを引いた大きさに、足し合わさるときは単に両方の力の大きさを足した大きさになります。
これも日常の感覚からなっとくできると思います。
つまり、２つの力が打ち消しあうときは、２つの力の大きさがぴったり同じなら完全に打ち消しあうけど、ちょっと違っていたら、弱い方が負けて、全体的には小さな力が働いているように見えるし、だいぶ違っていたら、ほとんど打ち消しあわないで大きい方の力がそのまま働いているように見える、ということです。
２つの力が足し合わさるときは、単に２つの力の大きさを足したものになるのですが、これも確かに２つの力を足し合わせても、元の力よりも小さくなることはないでしょうし、ましてや一気に元の力の１０倍ぐらいの大きさの力になることもないでしょうから、正しそうだというのは分かると思います。
その様子を下のアプレットで自分で試して確認してみてください。
床の上に箱が置いてあります。
箱には左右から力が働いています。
始めは左右から同じ大きさの力が働いているので、それらの力は打ち消しあって、箱は動き出しません。
箱の中をクリックすると、箱の左端からそこまでの大きさを持つ力に、左から働いている力を自分で変えることができます。
始めは釣り合っているのですから、それより大きな力にしたら箱は右向きに動き出し、小さな力にしたら左向きに動き出します。
力が釣り合う長さの場所には黒い丸で印がつけてあります。
画面内で箱の外をクリックすると箱の位置や力の大きさが始めに戻ります。
これはどうしてそうなっているのかは分からないけれど、確かにそうなっている事実です。
なので、違うんじゃないかと思う人は実際に自分でやって、確かにそうなっていないということを確かめないといけません。
試しになんでもいいから物を左右から手ではさんで力をかけてみてください。
はじめに、でやったのと同じです。
もし、右からかけている力の方が左からかけている力よりも大きいようにしたら、もちろん物は左に動き出しますし、左からかけている力の方が右からかけている力よりも大きいようにしたら、もちろん物は右に動き出します。
これはさっき紹介した力の合成の法則と合っています。
ここでは合成した後の力の大きさまで、どうなるのか説明したのですが、それを手の感覚で感じるのは難しいので、おいおい確かめていきましょう。
それではより詳しく、力がどのように足し合わさったり打ち消しあったりするのかを見ていきます。
これまで、一直線上に働く同じ大きさで反対向きの力が打ち消し合う様子を見てきました。
同じ向きなら足し合わさります。
反対向きなら打ち消しあいます。
では力が一直線上に働いていない場合にどうなるのかを見ていきます。
これが分かれば、完全に一般的な力の合成について分かったことになります。
それには、２つの力が１つのボールに働いているとき、そのボールがどの方向に動き出すかを見ていきます。
そうすればボールが動き出した方向に合力が働いていることが分かるからです。
それは実際に自分の手で物に力をかけて、自分で調べて欲しいですが、とりあえず代わりに下のアプレットで２つの力が合成される様子を確認してください。
画面内をクリックすると、ボールの中心からそこまでの長さを持つ矢印で表される力を１つボールにかけることができます。
もう一度クリックすると、もう１つ力をかけることができます。
２つの力をボールにかけたら、もう一度画面をクリックするとそれらの２つの力の合力によってボールが動き出します。
もう一度画面をクリックすると力がリセットされてボールの位置も元に戻ります。
それでは、少し力の合成について慣れたところで一般的な力の合成法則を紹介します。
それは、２つの力の合力はその２つの力を２つの辺とする平行四辺形の対角線の向きと大きさになる、というものです。
ちょっと分かりにくいかもしれないので、図で説明します。
まず、合成する２つの力があります。
それを合成するには、片方の矢印をもう片方の矢印の先に合わせるように動かします。
そして、元の矢印の根元と、今動かした矢印が指している先を結んで、新しい矢印を作ります。
これが合力になる、ということです。
また、合成の様子を図示して分かりやすくしてあるアプレットも張っておきます。
これは自分でいろいろな場合を試せるので、ぜひいろんな場合を見てみてください。
上の方にあるアプレットと基本的には同じですが、今度はちゃんと合力を図に描いてくれます。
緑の矢印で表されているのが合力です。
赤と青の矢印と黄色の線で平行四辺形が作られています。
合力がその平行四辺形の対角線になっていることをよく見てください。
何度も言いますが、これは物理法則の１つで、自分で頭の中でだけ考えていても分からない事実です。
それが正しいということを確かめるには、実際に自分で物に力をかけてみて、実際に物がどの方向に動き出すのかを確かめるしかないのです。
そうすると、実際にこのような方法で力が合成されていることが分かるはずです。
さて、このような方法で力は合成されるのですが、それを実際に確かめてみたいと思います。
物にどのような合力が働いているかを調べるには、やはり物に合力を打ち消す力をかけて、その場に止めておくのにどうすればいいのかを調べます。
２つの力が打ち消しあうときはそれらの力は一直線上で反対向きに働いていて、大きさはぴったり同じになります。
ということは、２つの力が合成された後にどんな力になるかを知りたければ、その物にもう１つ力をかけて、それによって合力を打ち消し、その場に止めておけるような力を探せばいいのです。
そういう力が見つかれば、合力はその一直線上にある反対向きの同じ大きさの力だと分かります。
例えば斜面に置かれた物に働く合力について実際に調べてみましょう。
何でもいいのである程度堅くて平べったい物を傾けて、その上に小さな物を置いてみてください。
例えばノートの上に１０円玉を立てて置いてみてください。
今、１０円玉にどのような力が働いているかは、今まで勉強してきた内容を使えば理解できます。
まず重力が働いています。
そしてノートから抗力と摩擦力が働いています。
今は多分、摩擦力は弱いのでとりあえず無視しておきます。
そうなると、今１０円玉に働いている力は下の図のようになります。
実際にやってみればすぐに分かりますが、このような場合にどうしたら１０円玉を動かないようにできるかといったら、もちろん下から１０円玉を手で支えればいいだけです。
それはいいのですが、その、手で支える力が重力と抗力で作った平行四辺形の対角線で表される合力と、ぴったり同じで、一直線上で向きが反対向きの力になっているということです。
その様子を下のアプレットで確認してみてください。
ボールに重力が働いています。
画面をクリックするとその方向に抗力を発生させるように斜面が置けます。
もう一度クリックすればボールが動き出して、もう一度クリックすれば始めの状態に戻ります。
その合力も図示されますが、もしもこのボールを斜面の上に止めておけるような力をかけたとしたら、この合力と一直線上で反対向きで同じ大きさの力になるはずなのです。
合力は斜面を下る方向に向いていて、これを打ち消すには斜面を上る方向に力をかけないといけません。
つまりボールを下から手で支えないといけないわけです。
これは日常の感覚からいって、確かに正しいと言えますね。
つまり、力は確かにこのような方法で合成されているというのも正しいだろうというのが分かります。
上のアプレットで斜面からボールに働く抗力は本当は斜面の表面とボールの表面に働いているはずなのですが、図ではボールの中心に働いているように描いてあります。
そして、そう考えた時の合力が実際に斜面に置かれたボールに働いている力になります。
それは実際に斜面にボールを置いて、自分の手で支えてみれば分かります。
下の図ではマッチ棒くんが実際に１０円玉に力をかけています。
１０円玉に働いている重力と抗力の合力がどのような力になるかは分かりませんが、とにかくこのような力が働いていれば、１０円玉を斜面の上に止めておくことができます。
斜面に置かれたボールを支えるには、確かに斜面に平行に、斜面の上に向かって下から手で力をかけないといけません。
この力は、自分の手でかけているので、確かにボールに働いているということが分かる力です。
なので、図に描いてあるような合力が実際にボールに働いている力の合力になることは間違いありません。
実は形が変わらない物はこのように、力が働いている場所を少しずらしても、まったく同じような力として考えることができます。
それについては後で詳しく説明します。
ここまでで、２つの力の一般的な合成の法則はよく分かったと思います。
これから説明するのは、さらに多くの数の力を合成するにはどうしたらいいかです。
例えば斜面に物が置いてあるときなどは、物には重力、斜面からの抗力、斜面からの摩擦力が働きます。
これらの３つの力が合成されるわけです。
今までは斜面からの抗力と摩擦力の合力が重力と打ち消しあっているのが分かっていたので、その２つの力の合力を考えればよかったのですが、本当に考えないといけないのは３つの力の合成です。
２つの場合は合力は、２つの力を使って作る平行四辺形の対角線になりました。
それでは３つの力を合成する時はどうなるのかというと、どれでもいいから２つの力を合成して、できた合力と最後に残った１つの力を合成すればいいのです。
合力というのは、合成する前の２つの力が物に働いた時と完全に同じ影響を物に与える力のことです。
ということは、３つ力が働いているうちの２つを合成してしまえば、物には最後に残った１つの力と合力の２つの力しか働いていないように見えます。
最終的にできる合力は、どの順番で力を合成するかには影響されません。
合成する時は、とにかく、どれでもいいから、２つずつ力を合成していけばいいのです。
それは物に沢山の力が働いているとき、それらがどのように合成されるかが、それらの力をどの順番で合成されるか、に影響されるわけがないからです。
物に沢山の力が働いているときにその物がどの方向に動き出すかは、それを誰かが見ていて、どのようにそれらの力を合成するかに影響されるわけがありませんね。
逆に、もし合成する順番によって最終的にできる合力が変わるのなら、それは力を合成するという行為そのもが何か不思議な性質を持っているということになりますが、今のところそういうことはありません。
それでは実際に力が合成される様子を見てみましょう。
下のアプレットは上の方にあったアプレットとほぼ同じですが、３つの力を描き入れることができます。
画面をクリックすればそこまでの長さを持つ矢印で表される力をボールにかけることができます。
力は３つまでかけることができて、４回クリックするとそれらの力の合力でボールが動き出します。
もう一度クリックすると始めの状態に戻ります。
次のアプレットでは実際に合力も画面の中に描いています。
さて、このように２つの力が１つのボールに働いているときに、どのように力が合成されるのかは分かったと思います。
なぜ、ここでボールに働く力を考えたかというと、これをそのまま原子に働く力だとしたかったからです。
物は原子からできていて、それらの間に働く力を考えれば日常の力に関する現象は説明がつくのでした。
そして今、ボールに２つの力が働いている場合、それらがどのように合成されるのかを紹介しました。
ということは、原子に力が働いたとき、それらがどのように合成されるのかが分かるということです。
原子に働く力の合成のされかたが分かれば、あとはひたすらたくさんの原子を考えることによって、それらの原子がどの方向に動き出すかが分かるようになります。
物は原子からできているのですから、物を作っている原子の動き出す方向が分かれば、物全体が動き出す方向もわかるということになります。
つまり、物に働く力が分かるようになります。
それをこれから説明していきます。
はじめに断っておかないといけないのは、これらの説明はすごくいい加減な説明だということです。
というのは、簡単にするために原子が止まっていると考えていますが、実際にはそんなことはなくて、常に動き回っているからです。
ですが、常に動いている原子を考えると、難しくなりすぎると思うので、止まっている場合を考えています。
それでも力が物の中を伝わるということの本質を理解するには十分だからです。
ですが、現実に起こっていることとは、少し違います。
これだけはちゃんと断っておきたいと思います。
重力の項目で、こんにゃくに働く重力について説明しました。
こんにゃくにも当然重力は働いていて、その力のために、下から手で支えなかったらこんにゃくは下に動き出します。
そして重力はこんにゃくのすべての部分に働いているのでした。
すべてというのは、こんにゃくを作っている原子のすべての部分ということです。
物は原子が集まってできています。
その原子も何かが集まってできているのですが、そこまで難しく考えないで、原子ぐらいでやめておきます。
ということは、すべての原子に重力が働いているということになります。
そして原子と原子の間には力が働くことが分かっています。
それらの力がどのように足し合わさるかも分かっているので、原子がどのように動くかも分かるということになります。
下のアプレットでは空中にあるこんにゃくが重力によって下に落ちていって、下にある棒によって真ん中近くだけが支えられて、そこから力が伝わっていってやがては全体が止まる様子をシミュレーションしています。
本当は物の動きについて勉強していないので、まだよく分からないかもしれません。
ですが、なんとなくでもいいから紹介しておこうと思いました。
棒も原子からできているので、もちろんこんにゃくを作っている原子と近づきすぎれば反発します。
そしてその反発する力が、こんにゃくを作っている原子の間を引き伸ばし、こんにゃくを作る原子の間に引き合う力が生まれます。
その引き合う力のおかげで、こんにゃくを作っている原子に働いている重力が打ち消されて、こんにゃくを作っている原子は止まっていられるようになるわけです。
これは本当に大体のイメージであって、実際には原子は止まらないということを注意しておきます。
アプレット貼り付け予定地
さて、力の一般的な合成法則は紹介しました。
それで分かったというのならいいのですが、ここではその実例を紹介して、もっと具体的なイメージを持ってもらおうと思います。
逆に、１つの力を合成したらその力になる２つの力で表すこともできる。
これを力の分解という。
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